15.11.1999
prof. P.M.:
To není možný. To je nějaká blbost.21. 11 1999
M.P.:
Nejsou to trojuhelnikyDne 31 Jan 00, v 4:08, Ing. Ivo Kaipr napsal(a):
..., muselo by platit 2/5 = 3/8, a to samozřejmě neplatí.
Pěkný příklad na přijímačky nebo k maturitě, testuje to psychickou odolnost nepodlehnout manipulaci. .Mon, 12 Feb 2001 08:34:20 +0100
svobop1.ech@mail.cez.cz:
Tak sem si to prohlid a je to jasny. Pomer obou kolmych stran trojuhelniku (tech malych z kterych se tvori ty vetsi utvary) neni stejny - 2,5 a 2,6666atd. To znamena ze ani jedno z obou poskladanych teles neni trojuhelnik ale pravouhly lichobeznik. Ten druhy je vetsi a proto se do nej vejde prvni obrazec a jeste zbyde. Ahoj.1. 10. 2003
1. Při spočítání polí, které zabírají obsahy obou trojúhelníků, vychází v obou
případech (13*5)/2 polí, tedy nejedná se o záhadu, ale spíše o klam.
2. Obsahy obou dílčích trojúhelníků jsou (2*5)/2 a (3*8)/2, a trojúhelníky
slouží jako základny ke stranám obdélníku.
3. "Problém" tedy nastává s obdélníkem, který má v horním trojúhelníku obsah
3*5 a v dolním 2*8 polí.
4. Tato změna obsahu je dána poměrem delších a kratších stran. U dolního
trojúhelníku je kratší strana obdélníku 2, ale obsah polí je 15. Delší strana
by tedy měla být 7,5, což není, protože tento obdélník má stranu 8 (viz bod
2)
5. Musím tedy přidat 1 pole, aby obdélník ve spodním trojúhelníku svou delší
stranou "pasoval" na delší stranu většího trojúhelníku.
6. Strany dílčích trojúhelníků tvoří celá čísla (pole), ale jejich poměry
delších a kratších stran 8:5 a 3:2, tedy 1,6 a 1,5. Proto i poměr mezi stranami
obdélníků jsou 1,6 a 1,5 pole.
7. Řešením záhady je porovnání obsahů horního a spodního trojúhelníka s
trojúhelníkem "ideálním", který je popsán v bodu 1.
8. Obsah ideálního trojúhelníku je (13*5)/2, tedy 32,5 polí (viz. bod
1).
9. Obsahy obou reálných trojúhelníků jsou o 0,5 pole menší, nebo větší. Horní
trojúhelník je půl pole menší, protože jeho obsah je 15+((3*8)/2)+((5*2)/2)=32
polí, spodní je pak o půl pole větší 16+((3*8)/2)+((5*2)/2)=33 polí. Rozdíl
mezi oběma reálnými trojúhelníky je 1 pole.
10. Závěr: Spodní trojúhelník je větší o jedno pole, což však nelze odvodit,
podle vzorce (A*B)/2, protože vycházíme z představy "ideálního" trojúhelníka.
10a. Klam vzniká tak, že pracujeme jen s celými poli. (viz. body 4, 6 a 8a).
10b. Musí existovat postup, která nám toto přímo potvrdí.
10ba. Na tento postup lze usuzovat z poměrů větších a menších stran obou
obdélníků, které nejsou celými čísly a z nejdelších stran horního a spodního
trojúhelníka, které neprotínají částečně "obsazená" pole přesně v půli. Při
porovnávání této nejdelší strany je zřejmé, že takto obsazená pole nejsou u
obou trojúhelníků stejné.
10c. Bod 1 tedy neplatí, i když sloužil jako prvotní "pevný bod" v řešení tohoto
problému.
S pozdravem J. B.24. 4. 2004
trojúhelníky (tmavě zelený a červený) nejsou ve skutečnosti podobné, takže přepona není ve skutečnosti přímá, ale lomená a rozdíl mezi konkávou a
konvexou činí ten jeden čtvereček. Rastr má samozřejmě člověka zmást tím více, čím je techničtěji vzdělán a na rastr spoléhá, ale i z obrázku je
patrné, že přepona neopisuje stejnou dráhu. Je to krásně vyvážené, aby to nevzbudilo pozornost a přitom to stačilo na ten jeden dílek. Je to moc pěkně udělaný klam, klobouk dolů. A použití těch barev má asi na zpracování mozkem taky trochu matoucí vliv..Jan Sýkora
16. 11. 2004
Vážený pane,
zasílám řešení úlohy: "Další v Síti nalezená záhada":
Vtip je v tom, že tmavozelený a červený trojúhelník nejsou podobné, tj.
mají různé úhly:
- tmavozelený má poměr odvěsen: 2:5=0,4 (což odpovídá nejmenšímu úhlu
trojúhelníka 21,8°)
- červený: 3:8=0,375 (což odpovídá nejmenšímu úhlu trojúhelníka
20,6°).
Rozdíl úhlů 1,2° je tedy téměř nepozorovatelný. To znamená, že horní
obrazec není trojúhelníkem, ale jeho zdánlivá "přepona" je v bodě dotyku
tmavozeleného a červeného trojúhelníka nepatrně "vlomena" dovnitř, což není
téměř vidět. Po prohození obou trojúhelníků (obrazec dole) se "přepona"
naopak trošku "vyboulí" ven. Rozdíl plochy vybarveného obrazce s "vlomenou"
a "vyboulenou" "přeponou" je právě ten jeden bílý čtvereček navíc.
S pozdravem,
Pavel Rozsypal
18. 1. 2005Cely vtip je v tom, ze oba obrazce maji stejny obsah, jenze se nejedna o trojuhelniky. Respektive, cerveny trojuhelnik ma pomer stran
svirajici pravy uhel 3/8 a modry 2/5. Diky tomu je cerveny trojuhelnik "ostrejsi", takze prvni obrazec (zdanlive trojuhelnik) je jaksi "promackly
dovnitr". Druhy obrazec je "promackly ven", takze mu proste pri zachovani shodneho obsahu chybi jedna kosticka.
Pokud lide psali i casy potrebne k vyreseni, me to vzalo 4 minuty, ale to se od rana ucim matiku a formaly, takze jsem jiz pomerne "vyplachnuty".
S pozdravem,
Jiri Filipovic
Mozne je to, protoze cerveny a tmave zeleny trojuhelnik nemaji stejny sklon sikme hrany. Cerveny ma pomer stran 3/8 a tmave cerveny 2/5, coz nejsou stejna
cisla. Takze v hornim obrazku je sikma cara lomena dovnitr trojuhelniku, zatimco v druhem je lomena smerem ven z trojuhelniku. Protoze se obsah obou
trojuhelniku musi byt stejny, tak to co se "pridalo" lomenim hrany ven se musi nekde ubrat, a to je ten maly ctverecek.
Petr Klenovsky
Samozrejme, sú to "obyčajné podfuky" (ale zábavné a podnetné). Finta je v tom, že zmieňované "trojuholníky" niesú trojuholníkmi. Ak sa dobre pozrieme na ich jednotlivé časti, konkrétne na červený a tmavozelený pravouhlý trojuholník, zistíme, že podľa ich ostrých uhlov niesú navzájom podobné (tuším, že sa tomu v matematike hovorí "podobnosť"). Ak zrátame štvorčeky, vidíme, že tangens uhlov červeného trojuholníka je 3/8 a 8/3, zatiaľ čo u zeleného je to 2/5 a 5/2.
Súd1: pravouhlý červený a zelený trojuholník majú rozne pomery odvesien, a teda aj rozne ostré uhly (lebo 3/8 sa nerovná 2/5).
Súd2: odvesny jedného trojuholníka sú k tým druhým vo vzťahu rovnobežnosti. Úsudok: Prepony týchto trojuholníkov neležia na jednej priamke => údajná prepona "poskladaného" trojuholníka nieje priamkou => útvar nieje trojuholník. Záhada je len optický klam. Samozrejme, obsah útvaru sa po preskupení jeho častí nemení.
Uff, na riešenie som prišiel asi za 20 sekúnd, ale napísať to, to už trvalo dlhšie. Inak, druhá "záhada" ("8x8=5x13?")je postavená na presne rovnakom princípe (trojuholníky s pomermi odvesien 2/5 a 3/8), síce sa to hýbe, ale spočítať som to stihol. A po preskupení sú obrysy fragmentov len pekne zdeformované a pritiahnuté za uši, inak by nemohli "pasovať" k sebe.Roman Schűtz 13. 1. 2006
Asi podobné řešení obdržíte častěji, neboť se jedná o první myšlenku, která
mě napadla. Totiž, daný trojúhelník ve skutečnosti trojúhelníkem není! Jde
pouze o optický klam. Lze to dokázat jednoduše tak, že si daný obrázek
stáhneme a otevřeme ho v programu Malování. Pokud pak povedeme přímku z
levého dolního vrcholu trojúhelníku do jeho pravého horního vrcholu,
zjistíme, že tato se v žádném případě nekryje s údajnou stranou zadaného
trojúhelníku. Obsahy jednotlivých částí obrazce se na obou dvou vyobrazeních
zdají stejné (nota bene stejně tak i jejich souhrnný obsah) a skutečně
takové být mohou, neboť se jedná pouze o různé uspořádání částí do různých
celků (s tím rozdílem, že první celek je rádoby "úspornější"). Tedy,
nepřesnost "přepony daného trojúhelníka" v sobě skrývá neuvěřitelný obsah,
dokázaný mezerou v druhém vyobrazení. Lze to také dokázat v tom, že 5
čtverečků červeného trojúhelníka počítáno z delší odvěsny neutvoří nikdy
zelený trojúhelník – tedy, tyto mají různé úhly u svých dvou vrcholů.
Tolik můj názor (pokud jsem v programu Malování udělal chybu, a tedy je má
premisa nepřesná, omlouvám se za zdržení a zároveň žádám o slíbené zaslání
dalších řešení).
S pozdravem
Petr Peiger, student PrF MU 9. 3. 200712. 8. 2007
Řešení je snadné. Jde o optický klam. Oba trojuhelníky nejsou identické, i když se zdají. Přepony totiž nejsou přímky, ale prohnuté křivky, protože červený a tmavě zelený trojuhelník nemájí stejný sklon přepon. Tím vzniká to, že horní trojuhelník je mírně vydutý a spodní zase naopak a rozdíl plochy mezi horním vydutím a dolním vdutím je právě plocha jednoho čtverečku.
S pozdravem Tomáš Hlavenka