Jiří Velinský je absolventem Ekonomicko-správní fakulty Masarykovy univerzity, kde vystudoval obor Finanční podnikání. Studoval také česko-francouzský studijní program zaměřený na veřejnou správu (ve spolupráci s Université de Rennes). Úspěšně absolvoval dlouhodobá školení zaměřená na projektové řízení (IPMA), marketing (CIMA) a řízení místních financí (Středoevropská univerzita Budapešť).
V minulosti pracoval na controllingové pozici ve strojírenské firmě a dále se v letech 2003–2011 podílel na tvorbě a správě rozpočtu města Brna. Na Masarykově univerzitě je zaměstnán od roku 2011. Od roku 2015 pracoval na pozici vedoucí Oddělení projektů a ekonomiky na Centru pro transfer technologií. Mezi jeho klíčové kompetence patřilo finanční řízení pracoviště a jednotlivých projektů a agendy spojené s personalistikou. Mimo to se podílel také na aktivitách souvisejících s oceňováním nehmotného majetku a přípravou nových projektů. V letech 2013–2022 okrajově vyučoval na Ekonomicko-správní fakultě MU.
V rámci dobrovolnických aktivit se dlouhodobě podílel na organizaci a vedení volnočasových aktivit pro děti a mládež, zastával také pozici statutárního zástupce organizace.